А. Ю. Бундель Анализ вынужденной изменчивости атмосферы с помощью вейвлет-фильтрации модельных данных



Скачать 189.69 Kb.
Дата26.04.2016
Размер189.69 Kb.
ТипЗадача



А.В. Муравьев, И.А. Куликова, Е.Н. Круглова, А.Ю. Бундель
Анализ вынужденной изменчивости атмосферы с помощью вейвлет-фильтрации модельных данных

Введение

Задача выделения из общей изменчивости атмосферы внутренней и вынужденной изменчивости является актуальной для определения основных механизмов формирования крупномасштабных метеорологических структур и для решения проблемы долгосрочных прогнозов погоды в целом. Как известно, колебания состояния атмосферы, верхнего слоя океана и суши охватывают практически все временные масштабы – от минут до миллионов лет. Долгопериодная изменчивость в большинстве исследований рассматривается как отклик на изменения во внешних условиях. Изменчивость такого рода называют «вынужденной». При этом наиболее очевидными внешними воздействиями оказываются изменения на Солнце и в орбитальных параметрах Земли. В отличие от климатических, изменения погоды ото дня ко дню полагаются независимыми от внешних условий, отчего их называют «внутренними» или «свободными» колебаниями. Источником локальных погодных изменений являются, как правило, перемещения структур синоптического масштаба, обусловленные, в свою очередь, неустойчивостью крупномасштабных зональных потоков в атмосфере. Эти потоки остаются неустойчивыми даже при постоянстве внешних условий. Неопределенность в отделении колебаний климата от изменений характеристик погоды была отмечена еще в 1979 г. Лоренцом [15].

Поступающая солнечная энергия неравномерно распределяется между низкими и высокими широтами, между океанами и материками. Эта неравномерность приводит к аномалиям в циркуляции атмосферы. Наиболее важным инструментальным (т. е. измеряемым) источником вынужденной изменчивости на сезонных интервалах времени считаются медленно меняющиеся аномалии температуры поверхности океана (АТПО) (например, [1]), особенно в тропических районах океанов. С этим связано и грандиозное явление Эль-Ниньо – Южное колебание (ЭНЮК). Учет медленно меняющихся граничных условий является физической предпосылкой возможности гидродинамического прогноза на сезон, в отличие от месячного прогноза, в котором важную роль играют начальные условия. В связи со сложностью создания схем гидродинамического прогноза, ориентированного на месячные прогнозы погоды, Всемирной Метеорологической Организацией (ВМО) был произведен пересмотр приоритетов программ, в результате чего программа месячных гидродинамических прогнозов под названием DERF (Dynamical Extended Range Forecasting) в начале 90-х годов была заменена на программу исключительно сезонных гидродинамических прогнозов DSP (Dynamical Seasonal Prediction) [18, 16, 17].

Одним из способов исследования отклика атмосферы на внешнее воздействие и, в частности, на температуру поверхности океана (ТПО), является сравнение результатов интегрирования модели с климатическими значениями ТПО, которое обычно рассматривается как «контрольное интегрирование», и интегрирования с «аномальными» значениями ТПО. Будем в дальнейшем считать, что «контрольный» эксперимент относится к использованию климатической температуры подстилающей поверхности. При проведении «аномального» эксперимента в качестве граничных условий была подключена реальная температура океана в месячном осреднении. Для проведения численных экспериментов был использован вариант глобальной спектральной модели Т40L15 [6, 9, 10] с интерфейсом, который позволяет усваивать ежесуточные данные по ТПО. При этом были привлечены дополнительные архивы данных, а именно: поля ТПО по данным наблюдений за март-декабрь 2000 г. (архив Рейнольдса); глобальные поля ежесуточной климатологии температуры подстилающей поверхности, восстановленной по среднемесячным данным реанализа NCEP/NCAR США за 1958-1998 гг.. Ежесуточные значения определялись по средним месячным методом обратной интерполяции, предложенным Гординым [2]. Важным преимуществом данной процедуры является то, что средняя величина интерполированных значений внутри месяца равна исходному среднемесячному значению метеорологического параметра. Кроме того, алгоритм учитывает и неодинаковость числа дней в году и месяце.

В ранних исследованиях оценка роли внутренней и вынужденной изменчивости проводились с помощью стандартных метрических и квадратичных параметров сходства. Как правило, влияние реальной ТПО на особенности атмосферной циркуляции практически не замечалось на интервалах до месяца. Использование диаграмм Хофмеллера сигнализировало о том, что требуется более тонкий анализ этого влияния. На этих диаграммах за пределами среднего срока (примерно, после двух недель интегрирования) начинали проявляться крупномасштабные термобарические структуры небольшой амплитуды, морфологически сходные с циркумполярным вихрем или блокирующими ситуациями. К тому же оставался нерешенным вопрос об учете систематического поведения самой модели при моделировании на таких временных интервалах.

В последнее время для оценок нестационарности и локальных особенностей в полях и временных рядах активно используются методы вейвлет-анализа. Наличие разработанных вычислительных пакетов (MathCad, Matlab) побудило прибегнуть к данному анализу для выделения вынужденной и внутренней атмосферной изменчивости и для оценок систематики модели. При этом вынужденная изменчивость ассоциировалась с низкочастотными долгоживущими компонентами сигнала, а внутренняя - с «зашумленностью» атмосферы. Однако, предварительно дадим некоторые вводные замечания относительно использованной методики.



Основные положения теории вейвлетов

Термин вейвлет, как известно, в переводе с английского означает «короткая волна» или «всплеск». В сейсмологии этот термин переводится как «импульс» или «волновой пакет», который возбуждается сейсмическими взрывами при проведении сейсморазведки месторождений природных ископаемых. Как и волны, большинство вейвлетов имеет временные зависимости с ярко выраженной колебательной компонентой. Вейвлеты служат для обработки нестационарных данных. С помощью вейвлетного преобразования хорошо представляются локальные особенности данных, такие как перепады и скачки.

В метеорологии использование вейвлет-анализа сталкивается, прежде всего, с обременительным требованием самоподобия, при отсутствии которого результаты применения вейвлетов оказываются несостоятельными (или требуют дополнительных подтверждений). Всплесковые базисы также страдают неинвариантностью относительно сдвигов. До сих пор не найдено удовлетворительное решение, которое бы позволило иметь дело с краевыми задачами в случае высоких размерностей для непрямоугольных областей. С другой стороны, для процессов, близких к стационарным, оптимальными являются хорошо разработанные инструменты гармонического анализа. Поэтому, чем сильнее выражена стационарная компонента, тем менее пригодным оказывается вейвлет-анализ. Таким образом, разложение Фурье и вейвлет-разложение следует рассматривать как дополнительные друг к другу (каждый со своими неоспоримыми достоинствами и со своими явными или скрытыми недостатками).

Некоторых вопросы, связанные с применением вейвлетов в метеорологии, обсуждаются в статье [13]. Основной акцент делается на использовании вейвлетов для фильтрации сравниваемых прогностических и фактических полей с целью удаления шумов в процессе верификации результатов прогнозирования. Отмечается, что использование вейвлетов позволяет провести «очистку» сравниваемых полей от шумов и повысить качество прогнозов. Однако для более эффективного применения вейвлетов требуется разработка новых критериев качества, отличных от стандартных метрических и квадратичных мер сходства, таких как среднее квадратическое различие или коэффициент корреляции аномалий. Подробное изложение теории вейвлетов и возможных его метеорологических приложений дается в работе Сонечкина (см., например, [4]). Очень полезной для знакомства с основными положениями теории вейвлет-преобразований и прикладными пакетами компьютерной математики представляется книга Дьяконова [3].

Перейдем к формулировке метода дискретного «диадного» вейвлет-разложения. Нестационарный сигнал s(t) можно представить в виде суммы базисных функций (mother wavelets - в зарубежной терминологии), помноженных на коэффициенты Ск [3]:

. (1)

Базисные функции вейвлетов должны иметь нулевое среднее значение по всему интервалу и затухать на бесконечности. Именно это свойство приводит иногда к таким наименованиям, как «короткие волны». Так как действия вейвлетов ограничены, то они должны обладать способностью сдвига по всему пространству. К этому добавляется возможность масштабирования, что сходно с изменением частот гармоник разложения Фурье. Эти два свойства обеспечивают основное преимущество перед синусоидами – более точное представление локальных особенностей сигналов с возможными скачками и разрывами.

Типичный пример семейства диадных базисных вейвлетов дается формулой



=(t-k)=, j, k Z, (2)

где -некоторая убывающая функция (скажем, ||<С(1+|t|)-(1+)), обладающая некоторой гладкостью и такая, что =0. Диадность заключается в использовании двух индексов j,k для перечисления всех базисных вейвлетов (сдвиг – целое число, а коэффициент масштаба изменяется по целым степеням двойки). Основные результаты в построении базисов были получены Ингрид Добеши. Способы построения и анализ свойств нескольких семейств ортонормированных «базисов Добеши» даются, например, в [5]. Исторически наиболее ранним базисом был базис Хаара (db1), который строится на основе ступенчатой функции:



= 1, если 0≤ t <;

= -1, если ≤ t <1;

= 0, в противном случае. (3)

Эта функция не удовлетворяет упомянутым выше требованиям гладкости, однако она обладает несколькими удобными свойствами, делающими всплески Хаара математически более привлекательными, о чем скажем немного ниже. Гораздо более гладкие конструкции были найдены только в 80-х годах, например, в работах Мейра (вейвлеты dmey), связавшего всплески с теорией аппроксимации. Добеши предложила ортогональные вейвлеты, сосредоточенные на конечном интервале времени. Эти вейвлеты имеют хорошо локализованный спектр в частотной области. Примеры вейвлетов (db1, db2,db4 и dmey) приводится на рис.1 .

В рамках кратномасштабного (multiresolution) анализа разложение функции s по ортонормированному базису всплесков рассматривается как разбиение функции s на последовательные слои уточняющегося масштаба, каждый из которых более детален, чем предыдущий. Поэтому сумму удобнее представлять как двойную – по временным сдвигам (k) и по масштабам (j). По мере перехода на более низкие уровни точность представления сигнала снижается, зато появляется возможность вейвлет-фильтрации сигнала, удаления из него шумов и эффективной компрессии сигналов. Схематически в вейвлет- анализе сигнал (s) делится на «приближенный» (A1) и «с учетом подробностей» (D1). В свою очередь, приближенный сигнал (A1) также может быть разделен на два уровня – приближенный (A2) и с учетом подробностей (D2), после чего для приближенной части процесс повторяется (A3 и D3):

s = A1+D1 = A2+D2+D1 = A3+D3+D2+D1. (4)

При этом на каждом новом шаге итерации в качестве входных данных используются выходные значения AJ (J=1,2…n) предыдущей итерации, DJ – ответвления остаются неиспользованными.

Более подробно этот процесс представляется следующим образом. Разделение сигнала s(t) с помощью диадного разложения по вейвлетам есть не что иное как представление сигнала s(t) в виде суммы низкочастотной компоненты и суммы масштабированных осциллирующих составляющих wj:

s(t)= (5)

или в более общем виде s(t)= , где = . Пространство VJ, построенное по всем «медленным» компонентам , называется пространством разрешения (resolution space). Пространство WJ, построенное по всем wJ, называется пространством детализации (detail space). Заметим, что при использовании в качестве всплесков функции Хаара, разложение по вейвлетам имеет два фундаментальных свойства: произведение двух элементов из Vj принадлежит Vj ; произведение элемента из Vj и Wj+k, k0, принадлежит пространству Wj+k. На языке временных масштабов это означает, что произведение двух медленных сигналов является медленным сигналом, а произведение медленного и более быстрого сигналов является быстро осциллирующим сигналом. Правая часть называется «осциллирующей» ввиду того, что все ее моменты исчезают, в частности, она имеет нулевую среднюю. В некотором смысле, такое свойство базиса Хаара является характеристичным. Другие базисы не обладают такими свойствами. Рассмотрим как проявляются основные особенности сигнала на различных уровнях аппроксимации.



Вынужденная изменчивость индексов циркуляции

Для количественного описания поведения атмосферы воспользуемся индексами дальних связей, предложенными в работе [19]. В общем виде такой индекс представляется следующим образом:

I =, (6)

где Нj500 - аномалия Н-500 в точке j , взятая со знаком + или - в зависимости от знака соответствующей структуры; - ее среднее квадратическое отклонение, k - число точек, pj - вес точки j (=1). Индексы рассчитывались на основе полей геопотенциала 500 мб поверхности, полученных по результатом интегрирования модели на 96 сут., начиная с 1 января 2000 г. Для изучения локальных особенностей изменчивости индексов и для фильтрации шумов воспользуемся вейвлетами db2 и db4.

Остановимся на анализе поведения двух индексов циркуляции ЕА (Восточно-Атлантическое колебание) и PNA (Тихоокеанско–Северо-Американское колебание), характеризующих крупномасштабные особенности атмосферной циркуляции на востоке Атлантического и Тихого океанов, а также на территории Западной Европы и Северной Америки соответственно. Значения индексов рассчитывались по модельным данным полей геопотенциала изобарической поверхности 500 гПа, полученных по результатам двух экспериментов: «контрольного» и «аномального». Нами рассматривались разности этих индексов, рассчитанные по результатам «аномального» и «контрольного» экспериментов, EA=EAO-EAC и PNA=PNAO-PNAC в течение 96 сут. Графики временного хода этих разностей, а также результаты их вейвлет -преобразования (третий уровень аппроксимации с помощью вейвлетов db4 и db2) представлены на рис. 2 и 3.

Как видно из рисунков, в течение первых 20 и за пределами 60 дней интегрирования значения индексов близки к 0, т. е. на этих сроках океан не влияет на формирование характеризуемых данными индексами режимов атмосферной циркуляции. Роль океана проявляется на интервалах, лежащих в пределах от 20 до 60 дней. За пределами 60 дней и в случае «контрольного» и «аномального» экспериментов решающую роль, очевидно, играет «климат модели», а различия, связанные с включением реальных ТПО, оказываются на этом фоне малозаметными.

С помощью вейвлет-анализа удалось выявить короткоживущие высокочастотные и долгоживущие низкочастотные компоненты сигнала. Для индекса ЕА обнаружено, что на интервале от 20 до 30 сут интенсивность зональной циркуляции атмосферы, рассчитанная без учета реальной ТПО, оказывается заниженной. За пределами 30 дней включение океана приводит к формированию мощного блокирующего гребня над территорией Западной Европы, и, следовательно, определяет формирование засушливой погоды в этом регионе. На третьем уровне аппроксимации эти особенности выражены довольно четко. Но вместе с тем и «зашумленность» моделируемой атмосферы на сроках, превышающих средние, возрастает. Это связано, конечно, с особенностями используемого анализа, и, в первую очередь, с предположением самоподобия, о чем упоминалось выше. Третий уровень аппроксимации для временных рядов выбранного типа является, скорее всего, предельным. Аналогичные выводы могут быть получены и при анализе индекса. PNA.

Проделанные расчеты относятся, скорее, к «case study», однако уже по ним можно сделать несколько основных выводов. Во-первых, роль ТПО начинает сказываться на особенностях атмосферной циркуляции уже за пределами среднего срока, что естественно следует учитывать в прогнозах на сроки до месяца. Этот отклик отчетливо выявляется именно при использовании вейвлет-фильтрации (отклик практически незаметен при использовании стандартных показателей типа корреляции аномалий или среднего квадратичного различия полей геопотенциала). Во-вторых, неучтенное систематическое поведение модели выбранного класса уже за пределами, примерно, двух месяцев приводит к методической несостоятельности использования вейвлет-анализа. И это обстоятельство следует учитывать, например, при моделировании сезонной изменчивости, или при прогнозировании на сезон и более. Полученные оценки можно интерпретировать и как границы применимости модели атмосферной циркуляции в прогнозах осредненных характеристик.



Локализация особенностей при различных ортонормированных базисах

Рассмотрим особенности изменчивости индексов циркуляции при использовании различных вейвлетов. На рис. 4 представлены графики временного хода разности индексов Восточно-Атлантического колебания (EA), (третий уровень аппроксимации), полученные в результате трех видов вейвлет-преобразования: db1, db4 и dmey. Как видно, временные изменения данных параметров довольно хорошо согласуются друг с другом. Во всех случаях отбрасывание коэффициентов мелкого масштаба приводит к менее зашумленному образу. Однако границы образа оказываются размытыми и несколько сдвинутыми относительно друг друга. Возникает вопрос: какие базисы лучше использовать для аппроксимации модельных данных? Здесь ситуация аналогична факторному анализу, в котором существует три вида неопределенностей, приводящие иногда к кардинально иным результатам – введение общностей, выбор начальных факторов и процедуры вращения [7]. Идеальное вейвлет-преобразование должно сократить объем данных в наибольшей степени, т. е. максимальное количество коэффициентов должно обратиться в нуль. Преобразование такого рода приводит к максимальной разбалансировке L2-нормы соответствующей матрицы преобразований, интерпретируемой иногда как «полная энергия матрицы» [11]. Такой подход делает интуитивно ясным, что минимум энтропии будет соответствовать преобразованию, при котором малое количество больших коэффициентов приходится на большое количество незначительных по величине коэффициентов. Для оценки качества аппроксимации воспользуемся энтропией Шеннона, определяемой для вектора a = (а1,…) по формуле [14]

E (a) = -log(). (7)

Значения энтропии в зависимости от использованных вейвлетов на уровне A3 приводятся в таблице. Таким образом, наилучшее представление сигнала с точки зрения энтропии обеспечивается с помощью вейвлета Добеши типа db4. Оценки статистической значимости различий могут быть получены с помощью статистик теории информации [8], или непараметрических процедур кросс-валидации [12]. В нашем случае мы ограничимся качественными различиями полученных аппроксимаций.



Выводы

С помощью глобальной спектральной модели T40L15 исследовалась собственная и вынужденная изменчивость крупномасштабных структур атмосферной циркуляции на месячных и сезонных интервалах времени. Выполнены два типа экспериментов «контрольный» (с использованием климатической температуры подстилающей поверхности) и «аномальный» (с использованием реальной температуры океана в месячном осреднении). При проведении экспериментов были созданы дополнительные архивы и базы данных, использован вариант модели с интерфейсом, позволяющим усваивать ежесуточные данные по температуре поверхности океана (ТПО).

Для выделения вынужденной и внутренней атмосферной изменчивости использовался вейвлетный анализ. При этом вынужденная изменчивость связывалась с низкочастотными долгоживущими компонентами сигнала, а внутренняя с «зашумленностью» атмосферы. Показано, что включение реальной ТПО приводит на интервалах от 20 до 60 дней к формированию определенных режимов атмосферной циркуляции, которые в «контрольном» эксперименте отсутствуют. За пределами 60 дней и в случае «контрольного», и «аномального» экспериментов решающую роль играет, очевидно, дрейф модели к собственному климату, что, с одной стороны, делает невозможной фильтрацию соответствующих компонент внутренней и внешней изменчивости, а с другой стороны, дает оценку пределов применимости модели данного класса для задач долгосрочного прогноза при игнорировании модельной систематики.

Для анализа вынужденной изменчивости индексов атмосферной циркуляции вполне достаточным оказался третий уровень вейвлет-аппроксимации, независимо от исходных базисных вейвлетов. На этом уровне основные особенности атмосферной изменчивости, связанные с влиянием граничных условий (т.е. вынужденной изменчивостью), выражены довольно четко. Наилучшее представление сигнала по энтропии Шеннона получено с помощью вейвлета Добеши - типа db4. Таким образом, несмотря на определенные ограничения, вейвлеты оказывается очень полезным средством анализа временных рядов и их фильтрации в целях выделения локальных неоднородностей и оценки нестационарности процесса.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант 02-05-64655).

Значения энтропии для различных вейвлетов (db2, db2, db4 и dmey) на уровне A3.



Вейвлеты

db1

db2

db4

dmey

E

10.26

11.43

9.43

9.98



Рис. 1. Примеры вейвлетов Добеши (db1, db2, db4) и Мейра (dmey)слева направо соответственно.


Рис. 2. Третий уровень аппроксимации (db4) разности индексов Восточно-Атлантического колебания, рассчитанных по данным «аномального» и «контрольного» экспериментов (EA).

A3 - крупномасштабная составляющая; D1, D2, D3 – мелкомасштабные составляющие (шумы).

Рис..3. Третий уровень аппроксимации (db2) разности индексов Тихоокеанско-Северо-Американского колебания (PNA), рассчитанных по данным «аномального» и «контрольного» экспериментов.

A3 - крупномасштабная составляющая; D1, D2, D3 – мелкомасштабные составляющие (шумы).

Рис.4. Третий уровень аппроксимации разности индексов Восточно-Атлантического колебания, рассчитанных по данным «аномального» и «контрольного» экспериментов (EA).

db1 – сплошная кривая;

db4 – штриховая кривая;



dmey – двойной пунктир.

Список литературы


  1. Глазунов А.В., Дианский Н.А., Дымников В.П. Локализованный и глобальный отклики на аномалию температуры поверхности океана в средних широтах// Изв. РАН. - Cер. ФАО. – 2001. –Т. 37. - № 5. -.С. 581 – 600.

  2. Гордин В.А. Об обратной интерполяции осредненных значений применительно к климатической информации//Метеорология и гидрология. -1994. - № 11. – С. 110-115.

  3. Дьяконов В.П. От теории к практике. Вейвлеты. СОЛОН – 2002..- Р, М, 202 с..

  4. Даценко Н.М., Сонечкин Д..М. Вейвлетный анализ временных рядов и динамика атмосферы//Изв. вузов. – Сер. Прикладная нелинейная динамика. –1999. -№ 1. –С. 9-14.

  5. Добеши И. Всплески и другие методы локализации в фазовом пространстве//Международный конгресс математиков в Цюрихе. –М: Мир, 1999. –C. 84 – 108.

  6. Курбаткин Г.П., Дегтярев А.И., Фролов А.В. Спектральная модель атмосферы, инициализация и база данных для численного прогноза погоды. –СПб.:1994. – Гидрометеоиздат. -184 с.

  7. Куликова И.А., Муравьев А.В. Факторный анализ региональной циркуляции//Изв. РАН. –Сер. ФАО. –1990. -Т.34. - №.3. -С.306-316.

  8. Кульбак С. Теория информации и статистика. –М.: Наука, 1967, пер.с англ., 406 с.

  9. Муравьев А.В., Круглова Е.Н., Куликова И.А., Казначеева В.Д. Долгосрочное прогнозирование аномальных синоптических ситуаций. Часть 1. Основные конструктивные и технические характеристики динамико-статистической схемы долгосрочного прогноза погоды//Метеорология и гидрология.-1999 - № 3. –C.28-36.

  10. Муравьев А.В., Круглова Е.Н., Куликова И.А., Казначеева В.Д. Долгосрочное прогнозирование аномальных синоптических ситуаций. Часть 2. Условия эксперимента и результаты прогноза//Метеорология и гидрология. –1999. - № 4. -С. 5 - 15.

  11. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. –М.: Мир, 1989, пер. с англ., 655 с.

  12. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. – М.: Финансы и статистика, 1988. Сб. статей, пер. с англ., 170 с.

  13. Briggs W.M., Levine R.A. Wavelets and field forecast verification. Mon. Wea. Rev. 1997, Vol.125, 1329-1339.

  14. Coifman, R.R. and Wickerhauser M.V. Entropy-based algorithms for best basis selection. IEEE Trans. On Inf. Theory, 1992, 38, No. 2, 713-718.

  15. Lorenz N.E. Forced and free variations of weather and climate. J.Atm.Sci., Vol.36, No. 8, 1367 – 1376.

  16. Palmer T.N., Anderson D.L.T. The prospects for seasonal forecasting – A review paper. Quart.J.Met.Soc., 1994, Vol.120, No.518, 755-793.

  17. Shukla J. et al. Dynamical seasonal prediction. Bull.Amer.Met.Soc., 2000, Vol.81, No.11, 2593-2606.

  18. Tracton M.S., Mo k., Chen W. Dynamical extended range forecasting (DERF) at the National Meteorological Center. Mon.Wea.Rev., 1989, Vol.117, No.7, 1604-1635.

  19. Wallace J. M., Gutzler D.S. Teleconnections in geopotential height field during the Northern Hemisphere winter. - Mon. Wea. Rev., 1981, 109, No. 4, 784 - 812.




База данных защищена авторским правом ©ekollog.ru 2017
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал